RECTAS, paralelas y perpendiculares.

1. Rectas. Paralelismo y perpendicularidad.

El plano Desde los inicios de la historia, el ser humano ha intentado representar su entorno visual dibujando los objetos y figuras que lo rodean. Para ello ha necesitado disponer de alguna superficie sobre la que trazar puntos, líneas, círculos u otras figuras. Desde los petroglifos esculpidos en piedra a las pinturas renacentistas o a los modernos planos utilizados en la arquitectura o la ingeniería, disponemos de innumerables ejemplos de representaciones elaboradas sobre superficies más o menos planas. El plano es por lo tanto un objeto que cobra importancia para la geometría, ya que nos permite representar figuras sobre él. Puntos y rectas. Dentro del plano distinguimos dos elementos fundamentales, tal y como Euclides, considerado como el primer gran matemático de la historia, los definió: el punto y la recta. Punto: es lo que no tiene longitud ni anchura. Señal de muy pequeño tamaño, casi sin dimensiones, que resulta perceptible por un contraste de color o de relieve sobre una superficie y que convencionalmente se representa como circular. Recta: es lo que tiene longitud, pero no anchura.Línea formada por una serie continua de puntos en una misma dirección que no tiene curvas ni ángulos y cubre la menor distancia posible entre dos puntos.

Recta, semirrecta y segmento

Tomemos dos puntos distintos sobre el plano y unámoslos mediante una línea. Existen desde luego muchas maneras de hacerlo, pero hay una de ellas que es la más corta entre todas las posibles. A esta línea más corta que une dos puntos la llamamos segmento.

Si designamos los dos puntos con las letras A y B, designaremos AB al segmento que los une. Así, A y B pasan a ser los extremos del segmento.

Si prolongamos el segmento indefinidamente por ambos extremos, obtenemos una recta. Si prolongamos el segmento AB por uno solo de sus extremos (B por ejemplo) obtenemos una semirrecta. En este caso decimos que el punto A es el origen de esta semirrecta.

Propiedades de la recta.

Volviendo a Euclides, existen algunas propiedades de la recta que, a pesar de lo sencillas que resultan absolutamente esenciales para la geometría.

Estas son algunas de ellas:

1ª) Dados dos puntos distintos en un plano, existe una única recta que los une.

2ª) Toda recta divide al plano en dos regiones, llamadas semiplanos.

Dados dos puntos distintos en un plano, existe una única recta que los une.

Posiciones relativas

Tracemos dos rectas sobre un plano. Pueden ocurrir varios casos distintos. Podría suceder que ambas rectas estén colocadas de manera superpuesta una a la otra. Sería imposible distinguirlas; serían, en definitiva, una misma recta. Decimos que las dos rectas son coincidentes.

En el caso de que las dos rectas sean distintas, podría ser que no llegaran a tocarse nunca, son paralelas, o bien que se toquen en algún punto, rectas secantes. En este último caso, el punto en que se cortan es único.

Dos rectas son paralelas si no se cortan en ningún punto.
Dos rectas son secantes si se cortan en un único punto.

Paralelismo.

Sabemos ya que dos rectas son paralelas si no tienen ningún punto común y, como consecuencia de su famoso 5º postulado, Euclides afirmó que por cualquier punto exterior a una recta puede trazarse una única recta paralela a ella.

Por cualquier punto exterior a una recta se puede trazar una única recta paralela a ella.

De acuerdo con nuestro Euclides, el paralelismo es uno de los conceptos básicos de la geometría. Por este motivo, la geometría que estamos descubriendo recibe el nombre de"geometría euclídea".

Perpendicularidad.

Dos rectas que se cortan en un punto, dividen al plano en cuatro regiones.
Si las cuatro regiones en que queda dividido el plano tienen la misma amplitud decimos que las dos rectas son perpendiculares.

Dos rectas son perpendiculares si dividen al plano en cuatro regiones de igual amplitud.

Dada una recta y un punto sobre ella, existe una única recta que contiene a este punto y es perpendicular a la recta.

INICIAMOS LA GEOMETRÍA

1º ESO INICIAMOS LA GEOMETRÍA

LA GEOMETRÍA

La palabra geometría significa “medición de la tierra” y procede del griego geo (tierra)y metrón (medida). Su origen está en las antiguas civilizaciones mesopotámica y egípcea, y se crea por la necesidad de medir distancias entre puntos en la tierra. La geometría es una parte de las matemáticas que estudia las propiedades de puntos, líneas, planos y volúmenes, y las relaciones que se establecen entre ellos en el espacio. 

TIPOS DE GEOMETRÍA

Si miramos lo que nos rodea, ya sean formas naturales o artificiales comprobaremos que muchas son geométricas: circulares, rectangulares…Según el estudio de las mismas, hay dos tipos de geometría:

La geometría plana, que es la parte de la geometría que estudia las propiedades y medidas de las figuras bidimensionales, es decir, las que están formadas por puntos que se encuentran en un mismo plano. 

La geometría espacial, es la parte de la geometría que estudia las propiedades de las figuras tridimensionales, es decir, las que están compuestas por puntos que se encuentran en diferentes planos. 

OBJETIVOS

• Conocer los elementos fundamentales del plano.
• Conocer las rectas y sus propiedades.
• Manipular rectas y otros elementos relacionados con ellas.
• Conocer los diferentes tipos de ángulos.
• Conocer las propiedades y relaciones entre ángulos.
• Medir y realizar operaciones básicas con ángulos.
• Utilizar recursos para resolver problemas sencillos de geometría plana.

Investiga

El billar es un juego en el que intervienen muchos de los elementos de la geometría plana (puntos, rectas, ángulos, simetrías ...). Observa en la escena, como se puede calcular la trayectoria correcta para dar a la bola roja rebotando antes en las bandas.